Бонкомпани е тосканец, но отделя малко време на своя роден край. След като се дипломира, се пренася в Рим, където първо учи композиция при Франко Ферара, а след това при Тулио Серафин, като става и негов асистент, което слага началото на една блестяща кариера.
Елио Бонкомпани е главен диригент на Националния театър в Брюксел (Театр дьо ла Моне), където през 1974-та дирижира световната премиера на "Дон Карлос" в пет действия с възстановяване на четири пиеси, първоначално отпаднали при първото представление през 1867 г. на френски.
Това издание на "Дон Карлос" с годините се превръща в официално издание на творбата, публикувано от SIAE. Ръководи и световната премиера на "Въображаемият Молиер" от Нино Рота и Морис Бежар.
В Кралския оперен театър в Стокхолм е назначен за постоянен диригент на италианския репертоар за две години.
Маестро Бонкомпани е артистичният директор и главен диригент в продължение на четири години в "Сан Карло" в Неапол. Там отговаря за всички симфонични концерти и опери, включително пълния цикъл "Пръстенът на нибелунга" на Вагнер, Деветата симфония от Бетовен и получилото висока оценка първо турне в Германия с "Трубадур" на Верди.
В продължение на пет години е постоянен диригент във Фолксопер и след това още пет години в Щатсопер във Виена.
От 1996 до 2002 г. Елио Бонкомпани е генерален музикален директор в Аахен, Германия. Той възстановява, редактира и поставя втората и последна автентична италианска версия на "Дон Себастиано" от Доницети.
Елио Бонкомпани е гостувал в оперни театри като Берлинер Дойче Щатсопер, Берлинер Дойче Опер, Байерише Щатсопер Мюнхен, Хамбургише Щатсопер и Парижката опера.
Маестро Бонкомпани е дирижирал концерти из цяла Европа, САЩ, Канада, Южна Америка и Австралия с оркестри като Лондонския симфоничен оркестър, Кралския филхармоничен оркестър, Дрезденския филхармоничен оркестър.
Той се посвещава също и на преподавателска дейност, като дава майсторски класове за млади диригенти в Кралската консерватория в Брюксел и в университета на Индиана в Блумингтън. Взема участие във фестивали за 100-годишнината на Пучини в Лука, като дирижира "Манон Леско", "Момичето от Златния запад" (с оркестъра и хора на "Маджо Музикале Фиорентино") и "Бохеми".
За неговите художествени постижения президентът на Република Италия му присъжда почетното звание Grande Ufficiale.